PARTIAL ORDERS = POSETS = REFLEXIVE + ANTISYMMETRIC + TRANSITIVE

Comparable elements
Incomparable elements
Chain
Antichain
Hasse diagram 

TOTAL ORDERS =  PARTIAL ORDER + ALL ELEMENTS COMPARABLE 

DISTINGUISHED ELEMENTS OF PARTIAL ORDERS

Least element / Minimum — Plus petit élément / Minimum — UNIQUE S’IL EXISTE

Maximal element — Élément maximal — PLUSIEURS POSSIBLES

Minimal element — Élément minimal — PLUSIEURS POSSIBLES

MAXIMUM → MAXIMAL

MAXIMAL ⇏ MAXIMUM

MINIMUM → MINIMAL

MINIMAL ⇏ MINIMUM

BOUNDS IN PARTIAL ORDERS — BORNES DANS LES ORDRES PARTIELS

Upper bound — Majorant — PLUSIEURS POSSIBLES

Lower bound — Minorant — PLUSIEURS POSSIBLES

Bounded above — Partie majorée — PROPRIÉTÉ D’UNE PARTIE

Bounded below — Partie minorée — PROPRIÉTÉ D’UNE PARTIE

Bounded — Partie bornée — PROPRIÉTÉ D’UNE PARTIE

Least upper bound / Supremum — Borne supérieure / Supremum — UNIQUE S’IL EXISTE

Greatest lower bound / Infimum — Borne inférieure / Infimum — UNIQUE S’IL EXISTE

MAJORANTS → PLUS PETIT DES MAJORANTS → SUPREMUM

MINORANTS → PLUS GRAND DES MINORANTS → INFIMUM

SUPREMUM ∈ PARTIE → MAXIMUM

INFIMUM ∈ PARTIE → MINIMUM

TOTAL ORDERS =  PARTIAL ORDER + ALL ELEMENTS COMPARABLE          

Total order / Linear order

Interval

MAXIMAL → MAXIMUM
MINIMAL → MINIMUM

dans un ordre total, lorsqu’un élément maximal ou minimal existe.

STRICT ORDERS

Strict partial order
Strict total order

COMPLETENESS — COMPLÉTUDE

Supremum property — Propriété de la borne supérieure
Infimum property — Propriété de la borne inférieure
Order completeness — Complétude pour l’ordre

NONEMPTY + BOUNDED ABOVE → SUPREMUM EXISTS - NON VIDE + MAJORÉE → SUPREMUM EXISTE

CONSTRUCTIONS — CONSTRUCTIONS

Dual order — Ordre dual
Product order — Ordre produit
Lexicographic order — Ordre lexicographique
Linear extension — Extension linéaire

MAPS — APPLICATIONS

Order-preserving map / Monotone map — Application monotone
Order-reversing map — Application antitone
Order embedding — Plongement d’ordres
Order isomorphism — Isomorphisme d’ordres

SPECIAL ORDER STRUCTURES

Semilattice — Demi-treillis
Lattice — Treillis
Bounded lattice — Treillis borné
Distributive lattice — Treillis distributif
Boolean algebra — Algèbre de Boole
Well-order — Bon ordre
Well-founded order — Ordre bien fondé
Well-quasi-order — Beau préordre

ADVANCED TOPICS — SUJETS AVANCÉS

Join — Supremum de deux éléments
Meet — Infimum de deux éléments
Irreducible element — Élément irréductible
Prime element — Élément premier
Compact element — Élément compact
Domain theory — Théorie des domaines
Orders & topology — Ordres et topologie
Orders & mathematical logic — Ordres et logique mathématique